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2.4.1 矩阵的秩
1)定义
在m×n矩阵中,任选r个行和r个列,将位于这r个行和r个行的交叉点上的个元素所构成的一个r阶行列式
(2-38)
叫做A的一个r阶子式,显然。
如果在m×n矩阵A中,有一个k阶子式不为零,而所有的(k+1)阶子式都为零,则说A的秩等于k,记为。
当A的秩等于m时,则称A为行满秩阵,显然有:;当A的秩等于n时,则称A为列满秩阵,显然有:。特别地,当A是n阶方阵时,如果,则称A为满秩方阵。
【例2-10】 证明的秩。
【证】首先,在A中有一个二阶子式:;其次,经计算,A的任一个三阶子式皆为零,例如:。因此,根据定义得:。证毕。
2)性质
矩阵的秩有以下几个性质:
(1)设A为n×n矩阵,则的充要条件是:矩阵A的行列式不为零;
(2)对任意矩阵A,其转置矩阵与A有相同的秩,即:=;
(3)矩阵B、C的秩,均不小于它们相乘所得的矩阵A=BC的秩,即:,;
(4)设A为m×n阵,如果P、Q分别为m阶、n阶的满秩方阵,则:,,这个性质表明,任何矩阵,经与一个满秩方阵相乘后,其秩不变。
2.4.2 广义逆矩阵
如果矩阵不是方阵或方阵是奇异方阵,则对A的求逆就称为广义逆,通常称为g逆。为区别起见,我们称非奇异矩阵的逆阵为凯利逆。下面介绍广义逆矩阵的概念。
1)左逆(列满秩阵的逆)
设误差方程为: (2-39)
上式为矛盾方程组。当A的秩时,A为列满秩阵。令:
(2-40)
式中称为列满秩阵A的左逆,它满足:
(2-41)
但是,,且 为奇异阵,其行列式的值。
【例2-11】已知 , 求矩阵A的逆。
【解】因为R(A)=2,故A为列满秩阵,由公式(2-40)得:
利用公式(2-41)进行验算:
注意:,经计算,。
左逆的一般表达式为: (2-42)
其中,M为一个任意t阶满秩方阵。
因此,列满秩阵A的逆不是唯一的。
设:,接公式(2-42)计算例2-11中的A的左逆:
验算:
2)右逆(行满秩阵的逆)
设条件方程为:
( r<n) ( 2-43) 上式为相容方程组,当系数阵A的秩R(A)= 时,A为行满秩阵。
行满秩阵A的右逆为: (2-44)
它满足:
(2-45)
右逆的一般表达式为: (2-46)
其中U为一个任意n阶方阵U,且
因此,行满秩阵A的右逆也不是唯一的。
【例2-12】 求矩阵 的逆阵。
【解】因为R(A)=2,则A为行满秩矩阵。由(2-44)式得:
验算:
设:,由(2-46)式得:
验算:
3)广义逆
设矩阵的秩R(A)≤min(m,n),则A的逆为广义逆,通常称为g逆。它满足下列等式:
(2-47)
凯利逆、左逆和右逆都能满足(2-47)式,因此,它们都是A的广义逆。A的广义逆不唯一,设是A的一个g逆,则A的g逆的一般表达式为:
(2-48)
式中U和V为任意n×m阶矩阵,矩阵G满足g逆的条件:
g逆具有下列性质:
(2-49)
当矩阵的秩R(A)<min(m,n)时,A为降秩矩阵。可用秩分解法,或降阶法求A的广义逆。
(1)秩分解法
当矩阵的秩R(A)<min(m,n)时,可分解为一个列满秩矩阵B,与一个行满秩矩阵C的乘积,即:
t<min(m,n) (2-50)
各矩阵的秩为:R(A)=R(B)=R(C)=t。由(2-50)式可得A的逆为:
(2-51)
按(2-47)式检验:
按秩分解法求广义逆,先要将A分解成B和C。一般先选取列满秩矩阵B,设其逆为,则矩阵C可按照下式求得:
(2-52)
【例2-13】 应用秩分解法求矩阵的逆阵。
【解】经计算 R(A)=2,取: ,R(B)=2,由(2-52)式得:
按(2-50)式进行验算:
由公式(2-51)得A的广义逆为:
验算:
(2)降阶法
当为奇异方阵,秩亏数d=t-R(A),例如:,R(A)=2,则d=1。秩亏d=1,说明方阵A有一个行(或列)向量与其它两个行(或列)向量线性相关。因此可将方阵A删去某一行和相应的某一列降阶求逆,然后将删去的行和列以“0”补之,即得矩阵A的广义逆。如对矩阵A,如果删去第一行和第一列,则有:
,
矩阵A的逆为:
验算:
如果删去第二行第二列,或者删去第三行第三列,所得的各不相同,但都能满足公式(2-47),因此说明具有多个解,而不是唯一的。
4)广义逆
前面所述的是一个重要的广义逆矩阵,它是存在的,但不是唯一的。如果作某些限制,可得到唯一的广义逆,通常称为伪逆。设有矩阵,如矩阵能满足下列四个条件,则称矩阵G为矩阵A的广义逆,即:
(2-53)
当A为非奇异的方阵时,其逆能满足(2-53)式中的四个条件,故是A的广义逆。
当A为列满秩阵时,其逆也能满足公式(2-53)中的四个条件,故是A的广义逆。
当A为行满秩阵时,其逆也能满足(2-53)式中的四个条件,故是A的广义逆。
当矩阵的秩R(A)<min(m,n)时,秩分解A=BC,,而A的逆也能满足公式(2-53)中的四个条件,因此,也是A的广义逆。
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